Viša matematika

ZADACI I RJEŠENJA

  • Pojam funkcije
Funkcije i načini njihovog definisanja. Simbolika i klasifikacija funkcija. Početno proučavanje funkcija. Oblast definisanosti funkcije. Elementi ponašanja funkcije. Prostije elementarne funkcije. Linearna funkcija. Kvadratna funkcija. Inverzna funkcija. Stepena, eksponencijalna i logaritamska funkcija. Trigonometriske funkcije. Funkcije inverzne trigonometriskim. Numerički zadaci.                              DOWNLOAD  PDF
       

  •   Pojam granicne vrijednosti
Osnovne definicije. Beskonačno velike i beskonačno male veličine. Kriterijum postojanja graničnih vrijednosti. Neprekidne funkcije. Određivanje graničnih vrijednosti. Upoređivanje beskonačno malih veličina. Funkcije cjelobrojnog argumenta. Funkcije neprekidnog argumenta. Razni zadaci sa određivanjem graničnih vrijednosti. Upotreba beskonačno malih veličina. Neki goemetriski zadaci. Numerički zadaci.                                                                                                                                                                        DOWNLOAD  PDF
         

  • Izvod i diferencijal. Diferencijalni račun
Pojam izvoda. Brzina mjenjanja funkcije. Neki pojmovi iz Fizike. Geometriski smisao izvoda. Diferenciranje funkcija. Zbir, proizvod i količnik stepenih funkcija. Stepen funkcije. Trigonometriske funkcije. Funkcije inverzne trigonometriskim. Logaritamske funkcije. Eksponencijalne funkcije. Hiperbolične funkcije. Logaritamsko diferenciranje. Razne funkcije. Inverzne funkcije. Funkcije definisane implicitno. Geometriske i mehaničke primjene izvoda. Grafičko diferenciranje. Pojam diferencijala. Diferencijabilnost funkcije. Diferencijal. Izvod kao brzina mjenjanja veličine. Relativna brzina. Funkcije definisane parametarski. Brzina mjenjanja potega. Brzina mjenjanja dužine luka krive. Brzina kretanja. Funkcije definisane parametarski. Ubrzano kretanje. Lajbnicova formula. Diferencijali višeg reda.                                      DOWNLOAD PDF
         

  • Ispitivanje funkcija i krivih linija
Ponašanje funkcije u tački. Primjena prvog izvoda: Rolova i Lagranžova teorema; Ponašanje funkcije u intervalu; Nejednakosti; Zadaci sa ekstremnim vrijednostima funkija; Jedna osobina primitivne funkcije. Primjena drugog izvoda: Ekstremne vrijednosti. Dopunska pitanja i rješavanje jednačina: Košijeva formula i Lopitalovo pravilo; Asimptotsko ponašanje funkcija i asimptote krivih linija; Sistematsko ispitivanje funkcija i krivih; Rješavanje jednačina. Tajlorova formula i njena primjena: Tajlorova formula za polinome; Tajlorova formula; Neke primjene Tajlorove formule. Krivina. Numerički zadaci.                                                                                                                DOWNLOAD  PDF
         

  • Određeni integral
Pojam određenog integrala; Izračunavanje integrala sumiranjem. Osnovne osobine određenog integrala: Geometriska interpretacija određenog integrala; Procena integrala; Srednja vrijednost funkcije; Integral s promenljivom granicom; Njutn – Lajbnicova formula.       PDF
         

  •  Neodređeni integral. Integralni račun
Najprostiji primjeri integracije. Osnovni metodi integracije: Metod parcijalne integracije; Smjena promjenjivih; Razni zadaci. Osnovne klase integrabilnih funkcija: Razlomljene racionalne funkcije; Neke iracionalne funkcije; Trigonometriske funkcije; Hiperbolične funkcije; Funkcije oblika R(x, sqrt(a*x^2+b*x+c)); Razne funkcije.                                                                                                         DOWNLOAD  PDF
         

  •  Metodi izračunavanja određenih integrala. Nesvojstveni integrali.
Metodi tačnog izračunavanja integrala: Neposredna primjena Njutn – Lajbnicove formule; Izračunavanje određenog integrala metodom parcijalne integracije; Smjena promjenjive u određenom integralu; Razni zadaci. Približni metodi izračunavanja određenih integrala. Nesvojstveni integrali: Integrali s beskonačnim granicama; Integrali neograničenih funkcija; Razni zadaci.                        DOWNLOAD   PDF
           

  • Primjene integrala
Neki zadaci iz geometrije i statike: Površina ravne figure; Dužina luka krive; Zapremina tijela; Površina obrtne površi; Momenti i težište; Guldenove teoreme. Neki zadaci iz fizike.                                                                                                                 DOWNLOAD  PDF
             

  • Redovi
Numerički redovi. Funkcionalni redovi. Potencijalni (stepeni) redovi. Neke primjene Tajlorovog reda. Numerički zadaci.  DOWNLOAD  PDF  
  • Funkcije više promjenjivih. Diferencijalni račun.
Funkcija više promjenjivih. Početno proučavanje funkcije. Izvodi i diferencijali funkcija više promjenjivih. Diferenciranje funkcija. Izvodi višeg reda.                                                                                                                                                            DOWNLOAD  PDF  
  • Primjena diferencijalnog računa funkcija više promjenjivih.
Tajlorova formula. Ekstremumi funkcija više promjenjivih. Ravne krive. Vektorska funkcija skalarnog argumenta. Prostorne krive. Površi. Skalarno polje. Gradijent. Izvod u određenom pravcu.                                                                                                DOWNLOAD PDF
  • Diferencijalna geometrija
Jednačina krive. Tangenta, glavna normala i binormala krive. Krivina i torzija krive. Zakrivljenost krive. Jednačina tangentne i normalne ravni. Binormalne i oskulatorne ravni. Rektifikaciona ravan krive. Aplikata. Freneov obrazac za krivu.                           DOWNLOAD  PDF  
  • Linijski integral prve vrste
Krivolinijski integral prve vrste. Računanje površine površi S. Određivanje mase luka l. Pronalaženje težišta homogenog luka l.          PDF
  • Dvostruki integrali
Oblast definisanosti funkcija dvije promjenjive. Neprekidnost i diferencijabilnost funkcija dvije promjenjive. Projekcije linije u prostoru na ravan. Računanje dvostrukih integrala po definiciji. Promjena poretka integracije u dvostrukom integralu. Računanje dvostrukih integrala. Računanje zapremine tijela ograničene površinama. Preslikavanje jedne oblasti integracije u drugu. Računanje dvostrukih integrala pomoću smjene promjenjivih. Računanje raznih dvostrukih integrala. Računanje površine P oblasti ograničene linijama. Računanje zapremine tijela ograničene površinama. Računanje nekih specijalnih integrala. Računanje integrala primjenom integracije pod znakom integrala. Računanje integrala primjenom diferenciranja pod znakom integrala. Ispitivanje konvergencije integrala. Računanje integrala primjenom već neke od ranije poznate jednakosti.                                                                                                   DOWNLOAD  PDF  
  • Integrali po višedimenzionim oblastima i svođenje na višestruke (iterirane) integrale
Dvojni i trojni integrali. Svođenje na višestruke integrale. Integrali u polarnim, cilindričnim i sfernim koordinatama. Primjena dvojnih i trojnih integrala. Nesvojstveni integral. Integrali koji zavise od parametra.                                                                 DOWNLOAD  PDF  
  • Trostruki integrali
Računanje jednostavnih trostrukih integrala. Računanje složenih trostrukih integrala. Računanje trostrukih integrala uvođenjem cilindričnih koordinata. Računanje trostrukih integrala uvođenjem sfernih koordinata. Računanje zapremine oblasti ograničene datim površinama. Određivanje težišta tijela V.                                                                                                                                    DOWNLOAD PDF  
  • Površinski integrali prve vrste
Računanje površinskog integrala prve vrste. Računanje površine neke površi S. Računanje mase raspoređene na površi S. Određivanje težišta površi S. Računanje momenta inercije neke površi S u odnosu na z-osu. Računanje sile kojom površ S privlači tačku mase m.  PDF  
  • Krivolinijski i površinski integrali
Krivolinijski integrali po luku krive. Krivolinijski integrali po koordinatama. Površinski integrali.                                    DOWNLOAD  PDF  
  • Linijski integral druge vrste
Računanje krivolinijskog integrala. Grinova formula (transformacija koja krivolinijski integral pretvara u dvostruki). Računanje složenijih krivolinijskih integrala. Računanje krivolinijskih integrala koji ne zavise od putanje integracije. Računanje površine ograničene linijama. Računanje jednog integrala pomoću rezultata nekog drugog.                                                                                     DOWNLOAD PDF  
  • Vektorska analiza
Neke osnovne operacije vektorske analize. Određivanje ekviskalarne površi funkcija. Određivanje vektorskih linija vektorskog polja. Određivanje gradijenta funkcije. Određivanje gradijenta skalarnog polja. Dokazi nekih jednakosti sa gradijentom. Pronalaženje izvoda funkcija u pravcu vektora u datoj tački. Određivanje izvoda po definiciji. Određivanje skalarnih funkcija tako da je zadovoljena neka jednakost. Dokazivanje nekih jednakosti u kojima je uključen rotor, divergencija i gradijent. Pokazivanje da je polje potencijalno i pronalaženje njegovog rotora. Pokazivanje da je neko polje solenoidno i pronalaženje njegovog vektorskog potencijala. Određivanje vrste polja. Laplasovo polje.                                                                                                                                           DOWNLOAD  PDF  
  • Površinski integral druge vrste
Računanje jednostavnijih površinskih integral druge vrste. Računanje fluksa vektorskog polja. Računanje složenijih površinskih integral druge vrste. Računanje fluksa vektora kroz zatvorenu površ orjentisanu vektorom vanjske normale, direktno i primjenom teoreme Gauss-Ostrogradskog. Primjena teorema Gauss-Ostrogradskog. Pronalaženje flusa vektora kroz neku datu površ. Računanje površinskih integrala direktno i primjenom Stoksove teoreme. Stoksova forumula. Dokazivanje nekih jednakosti primjenom definicije. Dokazivanje nekih jednakosti primjenom formule Ostrogradskog.                                                                                                 DOWNLOAD  PDF  
  • Diferencijalne jednačine
Jednačine prvog reda. Jednačine drugog i višeg reda. Linearne jednačine. Sistemi diferencijalnih jednačina. Numerički zadaci.            PDF  
  • Trigonometriski redovi
Trigonometriski polinomi. Furije-ovi redovi. Krilovljev metod. Harmonijska analiza.                                                     DOWNLOAD  PDF
  • Elementi teorije polja
Vektorsko polje, divergencija i rotor; Potencijal; Potencijal sile privlačenja; Protok (fluks) i cirkulacija u ravni; Protok (fluks) i cirkulacija u prostoru.                                                                                                                                                              DOWNLOAD  PDF